Na actividade anterior construíste duas circunferências na superfície do cone. Observaste também que a sua posição depende do ângulo de inclinação do cone. Irás agora inserir os elementos chave da prova de Dandelin. Duas esferas que serão tangentes ao cone nessas mesmas circunferências.

Neste modelo irás explorar apenas os casos da elipse e hipérbole. Por isso começa por recordar a propriedade focal de cada uma delas: 

Elipse - é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das suas distâncias a dois pontos fixos (os focos) é constante.

Hipérbole - é o lugar geométrico dos pontos do plano cujo módulo da diferença entre as suas distâncias a dois pontos fixos (os focos) é constante.

Quando inserires as esferas tenta definir cada uma destas curvas a partir destas. Observa o que acontece à esfera que se situa acima do plano secante quando o valor do ângulo de inclinação do cone se aproxima de Pi/4. Que podes concluir acerca desta esfera para o caso da parábola?

Neste modelo vais tentar estabelecer uma relação entre os diversos elementos do modelo e as esferas agora inseridas de modo a encontrares elementos que te permitam provar, a partir destas, a propriedade focal da elipse e da hipérbole.

Segue ordenadamente as fases de exploração deste modelo para uma melhor exploração desta actividade. Discute as tuas observações e tenta responder às questões colocadas.

No final poderás consultar a resolução desta actividade:

Resolução

Marta Brandão © 2003